6 n(n1)(n2) (тетраэдральными числами называют числа, показывающие, из скольких шаров можно сложить треугольную пирамиду).
Можно пойти еще дальше. Сумма всех чисел n первых строк таблицы равна n-му гипертетраэдральному числу 1/24 n x(n1)(n2)(n3) (аналог треугольных чисел для пространства четырех измерений).
Отметим еще, что разность между суммами n-й и (n-1)-й строками таблицы равна n-му треугольному числу, а разность между суммами n-й и (n-2)-й строками равна n-му квадратному числу.
Покажем справедливость последнего факта: суммы n-й и (n-2)-й строк соответственно равны 1/6 n (n1)(n2) и 1/6 (n-2)(n-1)n, поэтому разность равна n2.
Аналогично задаче о сумме чисел таблицы Пифагора можно решить задачу о сумме всех чисел расширенной таблицы Пифагора, заключенных в квадрат со стороной n. Здесь нас снова ожидает встреча с треугольными числами. Оказывается, эта сумма равна (1/2 n (n1) )2, а это квадрат n-го треугольного числа.
Группы чисел 1; 2, 4, 2; 3, 6, 9, 6, 3 и т. д. назовем 1-м, 2-м, 3-м и т. д. уголком. Сумма всех чисел n-го уголка равна разности между суммами чисел квадрата со стороной n и квадрата со стороной (n-1), поэтому сумма всех чисел n-го уголка равна
(1/2 n (n1) )2 – (1/2(n-1)n)2 n3,
т. е. n-му кубическому числу.
Чтобы получить представление о том, как в таблице Пифагора расположены числа, дающие одинаковые остатки при делении, например, на 5, закрасим числа, дающие одинаковые остатки (0, 1, 2, 3, 4), соответственно одинаковым цветом. Таблица Пифагора окажется расчлененной на одинаковые по раскраске квадраты. Аналогичное разбиение получается при делении таблицы на любое другое число.
Если внимательно и терпеливо заняться изучением таблицы Пифагора, то, несомненно, можно отыскать новые, не менее интересные свойства этой
Страницы: << < 4 | 5 | 6 | 7 | 8 > >>