br/>15 девочек собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое
количество орехов.
Решение.
Пусть все девочки собрали разное количество орехов: 1; 2; 3; …; 15. Тогда суммарное количество собранных орехов равно (1 15)/ 215 120100. Значит, какие-то две девочки собрали одинаковое количество орехов.
Задача 8
На далекой планете, имеющей форму шара, суша занимает больше половины поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть туннель, проходящий через центр планеты, который соединит сушу с сушей.
Решение.
Покрасим сушу на планете в зеленый цвет, а поверхность планеты, симметричную суше,- в синий. Так как суша занимает больше половины поверхности планеты, то найдется точка на планете, покрашенная в оба цвета. Через нее и надо рыть туннель.
Задача 9
В походе участвовало 25 человек, каждому из которых было от 24 до 30 полных лет (на данный день) Докажите, что найдутся четыре человека, родившихся в один год.
Решение.
Различных годов рождения может быть 7. Предположим, что каждый год родилось не более трех участников похода. Значит, за 7 лет могли родиться не более 3721 участника. Но, по условию, в походе участвовало 25 человек. Получили противоречие. Значит, найдутся четыре участника похода, родившихся в один год.
Задача 10
На шахматной доске 8 8 отмечены центры всех полей. Можно ли 13 прямыми разбить доску на части так, чтобы в каждой части было не более одной отмеченной точки?
Решение.
Рассмотрим внешний ряд клеток доски (по периметру). Центры полей образуют квадрат 7 7, между ними 28 промежутков. Мы должны разбить доску так, чтобы все отмеченные точки попали в разные части. Значит, прямые должны пересекать все промежутки между клетками. Но прямая может пересечь стороны квадрата не
Страницы: << < 2 | 3 | 4 | 5 | 6 > >>