Геометрия и оригами

r/> Задача 1. Разделите данный угол на три равные части.
Вот решение, предложенное ХисасиАбэ.
Пусть угол задан двумя складками p и q, обозначим через А вершину угла (рис. 9). Сначала проведём подготовительное построение. Нам нужно: 1) восставить перпендикуляр l кq через А (правило 4); 2) отметить на l произвольную точку В и восставить срединный перпендикуляр q к отрезку АВ (правило 2).
Теперь всё готово для главной складки. Сложим лист так, чтобы А попала на q, а В на р (правило 6). При этом образ А вершины А ляжет на первую трисектрису нашего угла, а точка С на пересечении q с новой складкой будет лежать на второй. Таким образом, лучи АА и АС будут делить угол на три равные части.
Докажем это. ПО свойствам выполненных складок, ВС АС СА СВ , а также АВ АА АВ. Поэтому равны треугольники АВС и АСА, но тогда равны и углы, отмеченные дужками на рисунке.
Удвоение куба.
Мы не будем вдаваться в легендарные подробности этой задачи. Напомним лишь, что речь идёт о построении ребра куба, объём которого вдвое больше объёма данного куба с ребром а, т. е. отрезка а32.
Задача 2. Постройте два отрезка с отношением длин 32.
Вот решение, которое предложил Петер Мессер.
Сначала построим квадрат АВСD, разделённый на 3 равные части складками р и q, параллельными стороне АВ. Теперь сложим лист так, чтобы точка В попала в точку В на стороне АD, а точка Х в точку Х на отрезке ЕF. Возможность осуществить такую складку предусмотрена правилом 6. Тогда
,FХ ctgα. Отсюда получаем, что
ctg α EF 3.
, и мы получаем уравнение относительно t:
t 3,
1. Далее, АВ 3tg α, DB 3 - 3tg α, и
На этом список «невозможных построений» не кончается. При помощи складываний можно также построить некоторые другие объекты, кото