Действия над комплексными числам

- Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Пример. Выполнить деление:
Решение.
Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:
(2 3i)(5 7i) 10 14i 15i 21i2 - 11 29i;
(5 - 7i)(5 7i) 25 - 49i2 25 49 74.
Итак,

Пример. Решите уравнение:
а) x2 - 6x 13 0; б) 9x2 12x 29 0.
Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D b2 - 4ac.
Так как a 1, b - 6, c 13, то
D ( - 6)2 - 4x1x13 36 - 52 - 16;
Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a 9, b 12, c 29. Следовательно,
D b2 - 4ac 122 - 4x9x29 144 - 1044 - 900,
Находим корни уравнения:

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1) Умножение.
Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах:
z1 a1 b1i r1 (cos φ1 i sin φ1), z2 a2 b2i r2 (cos φ2 i sin φ2).
На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:
z1 z2 r1 r2 (cos (φ1 φ2) i sin (φ1 φ2)); r1 r20.
Пример. Найти произведение чисел z1 2cos 50º 2 i sin 50º, z2 cos 40º i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 2 (cos 50º i sin 50º), z2 1 (cos 40º i sin 40º).
Тогда z1 z2 1 2 (cos (50º 40º) i sin (50º 40º)) 2(cos 90º i sin 90º) 2(0 i) 2i.
2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме
z1 r1 (cos φ1 i sin φ1), z2 r2 (cos φ2 i sin φ2), причем z1 ! 0, то
cos (φ2 - φ1) i sin (φ2 - φ1)
Пример.