связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Гаусса (1777 - 1855). Маленькому Карлу было 9 лет, когда учитель, занятый проверкой работ учеников, предложил классу сложить все натуральные числа от 1 до 100, рассчитывая надолго занять детей. Каково же было удивление преподавателя, когда через несколько минут Гаусс подошел к нему с верным ответом! Он подошел к решению творчески, заметив, что можно складывать числа не подряд, а парами: 1 100, 2 99, 3 98 . . . и т. д. Легко увидеть, что сумма чисел в каждой паре равна 101, а таких пар 50, значит общая сумма равна 101 50 5050.
А можно ли с помощью рассуждений, аналогичных тем, что проводил маленький Гаусс, найти сумму первых п членов любой арифметической прогрессии?
3. Вывод формулы.
Пусть (ап) - арифметическая прогрессия.
Обозначим Sn сумму п первых членов арифметической прогрессии.
Sn а1 а2 а3 а4 . . . ап - 1 ап(1)
Sn ап ап - 1 ап - 2 ап - 3 . . . а2 а1(2)
Докажем, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а1 ап.
a2 an - 1 (a1 d) (an - d) a1 an;
a3 an - 2 (a2 d) (an - 1 - d) a2 an - 1 a1 an;
a4 an - 3 (a3 d) (an - 2 - d) a3 an - 2 a1 an и т. д.
Число таких пар равно п. Складываем почленно (1) и (2) и получаем
2Sn (a1 an) n.
- формула суммы п первых членов
арифметической прогрессии.
Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а1 и d арифметической прогрессии.
Sn n, ап а1 d (п - 1);
Sn n;
- формула суммы п первых членов
арифметической прогрессии.
4. Пример.
Вернемся к задаче про ученика мастера. В течение 10 недель
Страницы: << < 1 | 2 | 3 > >>