Логарифмические неравенства

ство:


Учтем ОДЗ: 5-2х0
х2,5
Поскольку основание логарифма больше единицы, в эквивалентной системе знак неравенства сохранится:

Преобразуем:



Ответ: х(-infinity;249)
Пример 2:

Учтем ОДЗ:


ОДЗ:
Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число Пи больше единицы (). Поэтому в эквивалентном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется:

Преобразуем полученное неравенство:


Корни квадратного уравнения, стоящего в левой части, согласно теореме Виета . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас значения находятся между корней уравнения:

Ответ с учетом ОДЗ:
Сведение к простейшему логарифмическому неравенству часто осуществляется с помощью замены переменных.
Пример 3:

Приведем второй член к основанию 5:

Получили неравенство:

замена:
Имеем:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями.
Вернемся к исходным переменным:


Преобразуем согласно определению логарифма:

Ответ:
Пример 4:

Учтем ОДЗ:



ОДЗ:
Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием:

Имеем неравенство:

Основание логарифма больше единицы, получаем эквивалентное неравенство с тем же знаком:

Преобразуем:



Согласно теореме Виета корни квадратного уравне