, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство
Рис. 46
Рассмотрим две параллельные прямые а и a1 и плоскость , такую, что a. Докажем, что и b.
Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости (рис. 46). Так как a, то ax. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей a1x. Таким образом, прямая a1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости , т. е. a1. Теорема доказана.
Докажем обратную теорему.
Теорема. Если, две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Доказательство
Рассмотрим прямые a и b, перпендикулярные к плоскости (рис. 47, а). Докажем, что аb.
a)
б)
Рис. 47
Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. По предыдущей теореме b1. Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что аb. Допустим, что прямые b и b1 не совпадают. Тогда в плоскости , содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости и (рис. 47, б). Но это невозможно, следовательно, аb. Теорема доказана.
Домашнее задание: параграф 6, 2
Страницы: << < 1 | 2