определение: неравенство Коши это неравенство, связывающее между собой среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел ().
Усв. и закрепл.
знан.
21
Давайте попробуем решить несколько задач на применение неравенства Коши.
Задача 1. Докажите неравенство
a103a24a8, a0.
Решение. Данное неравенство можно доказать с помощью классического неравенства Коши ( Gn2a82a24a2a41a24a.
Полученному применим еще раз неравенство Коши
a103a24aa101a22a24a2a82a24a2a41a24a4a24a4a1a8.
Таким образом, третий раз применив неравенство Коши доказали неравенство. В цепочке соотношений трижды применялось неравенство Коши для двух положительных чисел.
Задача 2. Докажите неравенство a2b2c22ab2ac2bc
Решение. Перенесем все в одну часть и приведем подобные слагаемые
a2b2c2-2ab-2ac-2bc0
Применим к левой части формулу квадрата разности
a-b2a-c2b-c20
Каждое из слагаемых полученного выражения неотрицательно, это доказывает справедливость требуемого неравенства. Равенство достигается лишь в том случае, когда abc0. Неравенство доказано.
Задача 3. Решите уравнение 42x-1x234
Решение. Область определения неизвестного в данном уравнении есть промежуток 0,5;infinity). На этом промежутке правую часть уравнения оценим снизу, используя неравенство Коши для n чисел:
x234x211144x2111x.
Заметим, равенство в произведенной оценке достигается тогда и только тогда, когда x21, то есть x1.
Таким образом, xx
можно получить по средствам применения обобщенного неравенства Коши:
x2341x21344x213x.
Задача 4. Найдите наименьшее значение функции
fxx42x21x2125.
Решение. Разобьем свободный член на сумму 4 и 1 и представим fx в виде
x2121x2124.
Применим неравенство Коши для двух взаим
Страницы: << < 1 | 2 | 3 > >>