рдинат хОу. (рис. 1)
Рисунок 1 - единичная окружность
Точка получена поворотом точки Мₒ(1;0) на угол , а точка на угол и точка на угол .
Углы и равны, отрезки . Значит, треугольник равен треугольнику , следовательно у них одинаковые стороны и .
Так как синус это ордината точки на единичной окружности, а косинус её абсцисса, то точки имеют координаты
;
;
).
Подставим координаты точек и в формулу для нахождения расстояния между ними. Получим:
.
Преобразуем левую часть, используя формулы квадрата суммы и разности двух выражений и тригонометрические тождества:
Преобразуем правую часть:
Соединим левую и правую части:
Разделим на каждое слагаемое :
Получили формулу косинуса суммы.
Заменим и учтём, что , получим формулу косинуса разности
Докажем, что
Так как , , то по формуле косинуса разности получаем:
Заменим получим
Так, например,, потому что .
Докажем, что
Подставим в формулу значение , получим:
Для тангенса и котангенса тоже справедливы формулы
Выведем формулу синуса суммы и разности:
.
В этой формуле заменим и получим формулу синуса разности:
Для тангенса тоже есть формула суммы и разности. По определению .
Тогда tg , разделим числитель и знаменатель на
Получаем формулу тангенса суммы .
Заменим в ней и учтём, что tg(-α)-tgα , получим формулу тангенса разности
.
Пример. Вычислим .
Для котангенса суммы и разности применяют формулы:
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Найти
Решение: Представим , так как нам известны значения косинуса углов и Подставим в формулу косинуса суммы. Получаем:
.
Ответ:
Страницы: << < 1 | 2 | 3 > >>