Тема: Производная: определение, физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной
Рис. 1. График функции .
Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.
Построим систему координат и кривую (см. рис.1), где
независимая переменная или аргумент (время),
– зависимая переменная или функция (расстояние),
– закон или правило, по которому каждому значению ставится в соответствие только одно значение .
Зафиксируем момент времени (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние - . Дадим аргументу приращение , т.е. прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться - это .
Рис. 2. Секущая к графику функции .
– приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.
Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) - . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка . В результате получилась секущая , которая наклонена к оси под углом .
– секущая, – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .
Рассмотрим треугольник (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол - угол наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.
Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.
Величина называется – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени
.
Рассмотрим отношение , где – приращение функции, – приращение аргумента (см. рис.4).
Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения .
Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения .
С другой стороны отношение катета к катету – это тангенс угла – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения – это тангенс угла наклона секущей .
Пусть . Понятно, что и . Точка будет стремиться к точке , а положение секущей будет стремиться занять положение касательной в точке к кривой (см. рис.4). Имеем
Зафиксируем эту касательную, – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку , то отношение зависит только от величины .
Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции в точке и обозначается .
Определение. Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное соотношение при .
Определение производной с помощью пределов.
Предел при разностного отношения , если он существует, называется производной функции в точке и обозначается .
, где – мгновенная скорость в момент . В этом заключается физический смысл производной. Производная – это также тангенс угла наклона касательной , где - угол наклона касательной к кривой в точке с абсциссой .
Для того чтобы найти нужно:
1) Задать приращение – это приращение аргумента и вычислить соответствующее приращение функции или .
2) Найти разностное соотношение , упростить его и сократить на .
3) Если отношение при стремится к какому-то числу, то это число будет .
Итак, на уроке было рассмотрено понятие производной. Для этого ввели два новых понятия: приращение аргумента и приращение функции. Также были рассмотрены события, когда приращение аргумента и приращение функции конкретные числа, тогда соотношение имеет смысл физический – это средняя скорость за время и геометрический смысл – это тангенс угла наклона секущей. Далее было рассмотрено, какие процессы происходят, когда . Если , тогда и , и секущая стремится занять положение касательной. Если разностное отношение при стремится к некоторому числу, то это число называется производной функции в точке . Физический смысл производной в момент – это мгновенная скорость в момент , а геометрический – это тангенс угла наклона касательной, которая проведена к кривой в точке с абсциссой . Рассмотрен алгоритм нахождения производной: нужно дать приращение аргументу и получить новую точку . Получили значение функции в новой точке и нашли приращение функции. Надо разделить на и упростить это отношение так, чтобы сократился , и то, что получится при стремлении к нулю будет называться производной функции в конкретной точке . Дальнейшее изложение зависит от вида функции, что и будет рассматриваться на следующем уроке.