9 класс Алгебра
Тема: Геометрическая прогрессия
I. Цель урока: формирование умений решать задачи с применением геометрической прогрессии
II. Задачи урока:
Образовательные: сформировать навыки решения типовых задач (нахождение n – го члена, знаменателя геометрической прогрессии, задавать геометрическую прогрессию)
Развивающие:
- Развивать навыки сравнения, анализа.
- Развивать коммуникативные способности детей, развивать математическую речь.
- Формировать у учащихся навыки первичного самоконтроля.
- Использование метапредметных связей через исторический экскурс
Воспитательные:
- Воспитывать культуру математического мышления
- Развитие ключевых компетенций (коммуникативной, информационной, самоорганизации, самообразования)
Организация продуктивной деятельности школьников, направленной на достижение ими следующих результатов:
- личностных:
- уверенно и грамотно выражать свои мысли на математическом языке и языке формул;
- не боятся ошибок, развивать умение отстаивать свое мнение.
- метапредметных:
освоение способов деятельности:
- познавательной
- структурирование объекта познания;
- сравнение, сопоставление, классификация объектов по одному или нескольким признакам;
- коммуникативной
- умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;
- проведение информационно-смыслового анализа текста;
- рефлексивной
- самостоятельная организация учебной деятельности;
- оценивание своих учебных достижений.
III. Урок систематизации и закреплении знаний.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Мотивация учебной деятельности; сообщение темы, цели и задач урока
Эпиграфом нашего урока будут слова известного математика А.Н. Колмогорова
« Математические знания могут применяться умело с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески».
Ребята!
Сегодня у вас необычный урок математики. Сегодня вы еще раз убедитесь в том, что математика не только интересна сама по себе, но она необычайно полезна. В ходе сегодняшнего урока вас ожидает большая радость творчества и огромное поле приложения математических знаний и умений.
Желаю вам всем успехов и творческих радостей на уроке!
Мы изучаем тему «Последовательности». Изучили арифметическую прогрессию, ещё какая тема ОГЭ осталась? Да, это тема « Геометрическая прогрессия»
Запишите, пожалуйста, тему урока...
Какая же будет цель нашего сегодняшнего урока?
Цель: изучить геометрическую прогрессию
Какие задачи надо поставить перед собой, чтобы эту цель достичь?
Задачи: научиться решать задачи по данной теме (может быть вариант: мы должны разобраться, какими свойствами обладают её члены; может быть почему её так назвали и др.)
3. Актуализация знаний: проверка творческого домашнего задания
4. Открытие новых знаний (закрепление материала + изучение через проблемную ситуацию)
Но в начале познакомься с легендой о шахматной доске. Чтобы понять ее, вовсе не нужно уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).
Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.
-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.
Мудрец поклонился.
-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.
Сета молчал.
-Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.
-Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.
Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.
-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.
-Простое пшеничное зерно? – изумился царь.
-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…
-Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.
Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.
Почему так хитро улыбнулся Сета?
Прав ли был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы уместятся в один мешок?
Об этом мы узнаем чуточку позже.
А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен пшеницы, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей.
Получается последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…. (запишем ее в тетрадь)
Запишем еще одну последовательность: 2, 6, 18, 54, 162, ….
Члены этой последовательности, начиная со второго, получаются путем умножения предыдущего на 3.
Приведенные примеры последовательностей являются геометрическими прогрессиями.
А теперь попробуем сформулировать определение геометрической прогрессии. Замечание: члены прогрессии должны быть отличны от нуля!
Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
Обозначим, например, через (bn) - геометрическую прогрессию, тогда по определению
bn+1= bn×q, где bn ¹0, n - натуральное число, q - некоторое число.
Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е.
bn+1/ bn = q Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что q ≠ 0.
Выполним самостоятельно:
Найтиде знаменатель геометрической прогрессии:
а) 3; 6; 12; 24;…
б) 3; 3; 3; 3; …..
в)1; 0,1; 0,01; 0,001;…
Проверь себя!
а) q = 2 б) q = 1 в) q = 0,1
Ошибок нет? Молодецы! Если есть неправильные ответы, обратитесь к учителю.
По аналогии с арифметической прогрессией, выводим формулу n-го члена геометрической прогрессии. Пусть b1 – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель, тогда:
b2 = b1 ·q
b3 = b2 · q = (b1 · q) · q = d1 · q2
b4 = b3 · q = (b1 · q2) · q = b1 · q3
b5 = ………………..= b1 · q4
Продолжим эту цепочку рассуждений в тетради и вырази bn через b1 и q.
Проверь себя!
bn=b1• qn-1 –формула n-го члена геометрической прогрессии. ( правильно, то 1 балл)
Эта формула используется для решения многих задач. Рассмотрим примеры решения некоторых задач.
5. Закрепление
1. В геометрической прогрессии (bn) известны
b1 =-2 и q = 3, найти: b3, b4
Решение:
b3 = b1 • q2 = -2· 32 = -18
b4 = b1 • q3 = -2· 33 = -54 (1 балл)
2.Найти пятый член геометрической прогрессии (bn):-20; 40; ….
Решение: Найдем знаменатель, для этого нужно 40 разделить на -20, получится q = -2.
b5 = b1• q4 = -20 • (-2)4 = -20 • 16 = -320 (1 балл)
6. Самостоятельная работа обучающего характера
Выполнить самостоятельно:
В геометрической прогрессии (xn) найти:
а) x5, если x1 = 16; q = ½
б) x3, если x1 = 3/4; q = 2/3.
в) x10, если x1 = 48; q = -1.
Проверь себя!
а) x5 = 1 (1 балл)
б) x3 = 1/3 (1 балл)
в) x10 = -48 (1 балл)
Если вы испытываете затруднения, обратитесь к учителю.
Итак, просьба мудрого Сеты помогла на понять определение геометрической прогрессии, и теперь настало время узнать что-же было дальше….
За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли Сета свою жалкую награду.
-Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.
Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.
Царь приказал ввести его.
– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…..
-Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана..
- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета.
Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни.
С изумлением внимал царь словам старца.
- Назови мне это чудовищное число, сказал он в раздумьи.
18 446 744 073 709 551 615
-Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!
Масса такого числа зерен больше триллиона тонн. Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак…
Подведение итогов (самопроверка) Слайд
Самооценка
6б – «5»
5б – «4»
4б – «3»
7. Итог урока.
Домашнее задание.
Д.З.: п.24 учебника повторить,
№ 819, №821 и 823.
Итак, урок приближается к концу: – Дополните фразы:
Сегодня на уроке я….
– узнал…
– учился…
–…
Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
Я желаю, чтобы геометрические прогрессии и вообще математика вели по жизни вас только вперёд! Я благодарю всех за работу! Мне было приятно с вами общаться! Досвидания!